Немножко пятничных задачек ;)

← →
MBo © (2005-11-11 10:33) [0]

1. Нарисуем произвольный треугольник. От каждой вершины
(влево, глядя из центра) отложим одну треть длины стороны.
Получим 3 точки, соединим их с противоположными вершинами.
Точки пересечения проведённых линий образуют новый треугольник.
Во сколько раз его площадь меньше исходной?

2. В Диофантограде 100 домов разной этажности - от 1 до 100 этажей включительно.
В каждом доме 100 подъездов. На каждой лестничной клетке по 4 квартиры.
То есть всего в городе 4х5050х100=2020000 квартир.
Если к номеру этажа справа приписать номер подъезда,
и получится номер квартиры, находящейся на этом этаже и в этом
подъезде, то такую квартиру в Диофантограде считают престижной.
Например, в 8-этажном доме престижна 52 квартира (5 этаж, 2 подъезд),
а в 9-этажном - 412 квартира (4 этаж, 12 подъезд).
Сколько всего престижных квартир в городе?

3. Вася Пупкин гулял 5 часов. Сначала по горизонтальной дороге,
потом поднялся в гору, затем возвратился тем же маршрутом.
Скорость на горизонтали 4 км/ч, в гору 3 км/ч, под гору - 6 км/ч.
Какой путь он прошел?

4. Даны расстояния a,b,c от точки плоскости до трех вершин лежащего
в этой же плоскости квадрата. Найти длину стороны квадрата.

5. У Васи Пупкина 3 альбома с марками. В первом пятая часть всех марок, во втором -
несколько седьмых, а в третьем - 303 марки. Сколько всего марок у Васи?

6. Найти выражение для суммы ряда 1+2x+3x^2+4x^3+...+nx^(n-1)

7. Правильный тетраэдр со стороной в 1 метр находится в подвешенном состоянии.
Hа одну из его вершин села муха точечных размеров и поползла по прямой
по грани (не ребру) тетраэдра. С грани на грань муха переползает так, что на
развертке тетраэдра ее путь оставался бы прямолинейным. Преодолев расстояние
в целое число метров, не превосходящее десяти, муха вновь оказалась в вершине.
Сколько метров проползла муха и сколько раз побывала при этом на грани, с
которой начала движение?

← →
dmitry99 © (2005-11-11 11:08) [1]

3. Вася нагулял 10км.

← →
dmitry99 © (2005-11-11 11:10) [2]

> dmitry99 © (11.11.05 11:08) [1]
> 3. Вася нагулял 10км.

Это в одну сторону, а всего 20км.

← →
dmitry99 © (2005-11-11 11:23) [3]

5. В коллекции Василия 3535 марок.

← →
k2 © (2005-11-11 11:29) [4]

можно немножко вклиниться с бородатой задачкой про перевезти туда-обратно? :) http://webfile.ru/626407
(440кб)может кому приятно будет в пятницу вечером порешать перебором :о)

← →
Bless © (2005-11-11 11:48) [5]

1) - в 9 раз?

← →
default © (2005-11-11 12:05) [6]

6. [1-(n+1)*x^n+n*x^(n+1)]/(1-x)^2

← →
GuAV © (2005-11-11 12:18) [7]

> 6. Найти выражение для суммы ряда
> 1+2x+3x^2+4x^3+...+nx^(n-1)

Ряд является производной от ряда
x+x^2+x^3+...+x^n+...

Сумма указанного степенного ряда
x/(1-x), при |x|<1

Следовательно, сумма данного ряда
(1*(1-x)-(-1)*x)/(1-x)^2=1/((1-x)^2)

|| (u/v)"=(u"v-v"u)/(v^2) ||

← →
default © (2005-11-11 12:23) [8]

GuAV © (11.11.05 12:18) [7]
конечный ряд в условии:)

← →
GuAV © (2005-11-11 12:25) [9]

> 4. Даны расстояния a,b,c от точки плоскости до трех
>вершин лежащего
> в этой же плоскости квадрата. Найти длину стороны
> квадрата.

Я так понял, что известно, какое из расстояний до вершины, лежащей между двумя другими, иначе не решается ?

> конечный ряд в условии:)

Понял. Ты решал так же ?

← →
default © (2005-11-11 12:40) [10]

GuAV © (11.11.05 12:25) [9]
"Ты решал так же ?"
нет
решение с производной, конечно, неплохое, но можно обойтись обычной алгеброй

← →
MBo © (2005-11-11 12:52) [11]

>dmitry99 © (11.11.05 11:10) [2]
>Это в одну сторону, а всего 20км.
Верно

>dmitry99 © (11.11.05 11:23) [3]
>5. В коллекции Василия 3535 марок.
Верно

>Bless © (11.11.05 11:48) [5]
>1) - в 9 раз?

Нет.
Возможно, условие несколько двусмысленно. Отрезки в одну треть соотв. стороны откладываются от каждой вершины против часовой стрелки. Получается типа медиан, только не пополам стороны делятся, а 2:1.

>default © (11.11.05 12:05) [6]
>6. [1-(n+1)*x^n+n*x^(n+1)]/(1-x)^2

Верно. Один из способов нахождения подобен тому, как в школе выводится сумма геом. прогрессии.

← →
GuAV © (2005-11-11 15:25) [12]

> 7.

Развернём тетраэдр на плоскости, учитывая каждую грань бесконечное число раз. Получим плоскость, разбитую на треугольники. Выберем произвольно начальный треугольник и его вершину - начальную точку. Обозначим перемещение в направлении высоты проведенной из начальной вершины как X, а перемещение в перпендикулярном направлении как Y.
Тогда всё перемещение S = sqrt(sqr(X)+sqr(Y)).

Пусть M - перемещение X в треугольниках, а N - перемещение Y в половинах треугольников. Тогда N = Y/2, а M = X/(sqrt(3)/2) (высота равностороннего треугольника).
S = sqrt(sqr(M*sqrt(3)/2)+sqr(N/2)) или
2*S = sqrt(sqr(M)*3+sqr(N))

M > 0, abs(N) < M, чтобы попасть на грань, выбранную как начальную, неравенство строгое, т.к. муха ползла по грани (не ребру) тетраэдра.

S - целое и меньше или равно 10 по условию. Т.к. муха оказалась вновь на вершине, M и N - целые, причём или оба чётные или оба нечётные.

Т.к. S меньше или равно 10, sqrt(3)*M < 20, следовательно M <= 11. abs(N) <= 9.

N не равно 0, т.к. sqr(M)*3 содержит в своём разложении нечётное число простых множителей равных 3, поэтому не может быть квадратом целого числа.

...дальше не знаю, можно ли отфильтровать ещё варианты, их всё равно много ?..

← →
MBo © (2005-11-11 15:56) [13]

>GuAV © (11.11.05 15:25) [12]
Рассуждения в общем верные, но где-то,видимо, есть прокол, сразу так его не вижу.
При заданных условиях единственный вариант - расстояние 7

← →
GuAV © (2005-11-11 16:06) [14]

> При заданных условиях единственный вариант -
> расстояние 7

Это получается при M = 8 и N = 2 или -2, но хочется сократить число вариантов для перебора, их несолько десятков получается...

А ещё так решать можно :)
webfile.ru/627101 размер 47 Кбайт

вторую кто-нибудь решает?
а то я только начну и бац - кто-то выдаст решение(

← →
Aldor_ (2005-11-12 06:41) [17]

Ряд конечным по определению быть не может :) Уже хотел писать ответ GuAV [7] с поправочкой в условии.

2. 135 без формулы :))

4. Получилось уравнение
x^2 + 2x * [b^2 - ((a^2 - b^2 - x^2)/2x)^2]^0.5 + b^2 - c^2 = 0
а дальше никак..
Толи лыжи не едут, толи я неверно мыслю.

> k2 © (11.11.05 11:29) [4]
> можно немножко вклиниться с бородатой задачкой про перевезти
> туда-обратно? :) http://webfile.ru/626407
> (440кб)может кому приятно будет в пятницу вечером порешать
> перебором :о)

А че ее решать-то?
Видел я ее раньше.
допустим
P-полицейский, V-вор, D-мама, d1 и d2 - дочки, M-папа, m1 и m2 - сыновья
Если учесть что каждый человек является чем-то уникальным, то есть 8 вариантов (т.е. все варианты симметричные, но смысл один).:

1. P+V -->
2. P <--
3. P+m1 -->
4. P+V <--
5. M+m2 -->
6. M <--
7. M+D -->
8. D <--
9. P+V -->
10. M <--
11. M+D -->
12. D <--
13. D+d1 -->
14. P+V <--
15. P+d2 -->
16. P <--
17. P+V -->

Немножко пятничных задачек ;) Найти похожие ветки