Задачка

← →
default © (2005-06-07 22:27) [0]

доказать, что из свойств умножения(или абстрактной операции
обладающей такими же свойствами)
1) ab=ba
2) abc=a(bc)
следует, что для любого числа n сомножителей верно
a1a2a3..an=aiajak..al; i,j,k,..,l - любая перестановка первых n натуральных чисел

← →
TUser © (2005-06-07 22:43) [1]

Это очевилно, да четвертуют меня математики

← →
Aldor © (2005-06-07 22:56) [2]

Очевидно, что индукцией это доказывается в одну минуту :)

← →
default © (2005-06-07 23:15) [3]

нифига не очевидно
сегодня мне захотелось убедиться в справедливости этого(что подают в школе как догму)
ничего сложного, но всё-таки не банальная индукция
хотя моё доказательство самое короткое не претендует

← →
palva © (2005-06-07 23:36) [4]

Сначала нужно доказать, что расстановка скобок не влияет на результат не только для трех сомножителей abc, но и для произвольного числа сомножителей abc...q Это доказывается индукцией по числу сомножителей. На индукционном шаге нужно рассмотреть ту операцию, которая выполнена последней и рассмотреть скобку слева и скобку справа от нее. Скобки слева убираем, а справа размещаем в обратном порядке (по индукционному предположению это возможно) типа так;
abc*(d(e(f...q)))...)
теперь по свойству 2) делаем так
= abcd*(e(f...q)))...)
и так далее, пока не избавимся от всех скобок.
После того, как это доказано, утверждение задачи становится осмысленным.
Коммутативность также доказываем по индукции. Индукционный шаг для
a1a2a3..an=aiajak..al
проводим так: сначала все сомножители справа за исключением последнего располагаем в том же порядке что и слева, затем последний меняем несколько раз со своим соседом слева, пока он не встанет на свое место.

palva © (07.06.05 23:36) [4]
вот такое, наверно, самое короткое
исходную задачу можно свести к тому, что нужно доказать возможность переставлять местами соседние сомножители(назовём эту операцию обменом) любого произведения
пользуясь обменом можно задать любую комбинацию сомножителей из исходной, например, устанавливая в качестве первого сомножителя нужный сомножитель, потом на место второго сомножителя поставить тоже нужный и тд. до получения нужной комбинации
докажем допустимость операции обмена
пусть есть какое-то произведение abcdefghijk...
возьмём по произволу сомножитель(не нарушая общности)
пусть это будет f
рассмотрим начало этого произведения кончая f
abcdef=[abcd=x]xef=[св-во 2)]x(ef)=x(fe)[св-во 1)]=xfe[св-во 2)]=abcdfe
и того:
abcdefghijk...=abcdfeghijk...
тем самым показали обмен сомножителей e и f и решили задачу

Задачка Найти похожие ветки