Теория вер-ей(вопрос к математикам)

← →
default © (2005-02-28 20:41) [0]

кто захочет ответить нужно скачать файл webfile.ru/202340
в нём файлы в формате djvu
и внимательно прочитать

пункт 2
из доказательства видно, что аксиома непрерывности используется там для доказательства, по сути, существования вероятности события A, но A=B_1
теперь смотрим пункт 1
и видим из слов "т.е. P(B_n) есть остаток сходящегося ряда",
что вероятность P(B_1) предпологается существующей(P(B_1)=P(A)),
отсюда бессмысленность обращения из пункта 2 к аксиоме из пункта 1
математики, объясните или у меня что-то с головой или у того кто это писал?(Гнеденко)
и ещё на счёт того что нельзя доказать утверждение расширенной аксиомы сложения
почему нельзя так?
Достов.соб.=A_1+A_2+A_3+...A_n+...
P(Достов.соб.)=P(A_1+A_2+A_3+...A_n+...)
P(Достов.соб.)=1 по одной из аксиом Колмогорова
отсюда 1=P(A_1+A_2+A_3+...A_n+...)
Очевидно, что если убрать у достоверного события любое конечное число событий - вероятность этого нового события будет <1 (1)
отсюда ограниченность справа вероятности события A из пункта 1, а отсюда и сходимость ряда Сумма(k=1,oo)[P(A_k)], отсюда доказательство утверждения расширенной аксиомы сложения
или же вывод (1) в математике нужно ещё формально обосновать?

← →
palva © (2005-02-28 23:22) [1]

> аксиома непрерывности используется там для доказательства, по сути, существования вероятности события A

А я чего-то не так это дело понимаю. Аксиома непрерывности используется для доказательства расширенной аддитивности. А расширенная аддитивность не означает, что "вероятность A существует" (наверно под этим вы хотели сказать что A является событием). Расширенная аддитивность означает, что если событие А является дизъюнктной суммой счетного числа событий A_i, то его вероятность... Но она вовсе не означает, что дизъюнктная сумма счетного числа событий сама обязательно является событием.

Наверно вам будет понятнее, если вы разберете пример, когда обычная аддитивность выполняется а расширенная нет. Пусть к примеру пространство элементарных событий - числа 1,2, и т.д. - все натуральные числа. Пусть число i имеет вероятность 2^(i+1) т.е. 1 имеет вероятность 1/4, 2 - 1/8 и т.д. Событиями будем считать все конечные множества, а также все множества, получающиеся если из множества натуральных чисел мы будем вычитать всевозможные конечные множества. Вероятности этим событиям присвоим в соответствии с их построением - для конечных множеств это суммы вероятностей составляющих точек, для бесконечных множеств это единица минус конечная сумма вероятностей отдельных точек. Если мы попытаемся из отдельных точек сложить весь натуральный ряд, то ряд сойдется к 1/2. В то время как вероятность достоверного множества должна быть единицей. Расширенной аддитивности нет.

← →
default © (2005-03-01 08:32) [2]

всё, понял где я ошибался:)
palva © (28.02.05 23:22) [1]
вечером напишу ответ на Ваш пост, сейчас времение уже нет
меня интересовал ответ на вопрос: обязательна ли аксиома непрерывности для доказательства утверждения расширенной аксиомы сложения и главное почему?
ответьте ради интереса на него
я понял в чём там дело

← →
default © (2005-03-01 17:56) [3]

по-моему Вы не туда стали мыслить
я обломался в том что очевиднейший факт был недоказуем формально (1)
хотя я основывался на его доказательной истинности поэтому ушёл не в ту степь в [0]
попробуйте доказать утверждение расширенной аксиомы сложения и Вы, вероятно, поймёте суть (1)

← →
palva © (2005-03-01 21:57) [4]

> обязательна ли аксиома непрерывности для доказательства утверждения расширенной аксиомы сложения и главное почему?

Суть вопроса не ясна. Вернее ответ очевидный - не обязательна. Наверняка ведь можно придумать какое-нибудь утверждение, отличное от аксиомы непрерывности, исходя из которого можно доказать расширенную аксиому сложения. В качестве такого утверждения можно взять к примеру саму расширенную аксиому сложения. Но вы ведь не это спрашивали - я не понял, что.

> я обломался в том что очевиднейший факт был недоказуем формально

Похоже у нас разные представления о добре и зле. Я понимяю так, что математики не доказывают факты. Они рассуждают, если принять такие-то аксиомы, то можно доказать это; а вот эта дополнительная аксиома будет эквивалентна такой-то аксиоме. А что такое факт, да еще очевидный - непонятно. Я ведь привел пример вероятностей, где расширенная аксиома сложения не выполняется. Во-вторых, любое доказательство должно быть формальным, вернее оно бывает изложено кратко и неформально, но под него всегда можно подвести соответствующий формализм. Иначе это не доказательство.

Я советую по основаниям вместо Гнеденко читать Колмогорова. Гнеденко в этом месте как раз пытается обыденным языком пересказывть его книгу. Книга эта есть в сети pdf 12 мегабайт. Конечно, академик АН УССР Гнеденко - большой ученый, но описывая основания он философски перестраховался и упомянул даже диалектический материализм. У Колмогорова же можно прочитать нормальное математическое изложение.

А может быть вообще лучше не заниматься основаниями теор. вер. Современное изложение через теорию меры полностью покрывает этот вопрос и позволяет быстро перейти к содержательным вещам, которые у Гнеденко, как раз изложены неплохо.

← →
default © (2005-03-01 22:15) [5]

palva © (01.03.05 21:57) [4]
извиняюсь, надо было сказать слово "вещь" либо "ситуация" либо что-то подобное, но не "факт"
факт это уже что-то свершившееся что нет смысла доказывать...
подождите немного, где-то около часа(другие дела ещё...) я напишу что я имел ввиду ну или завтра прочитайте

итак, допустим мы формулируем утверждение расширенной аксиомы сложения как теорему и пытаемся её доказать
формулировка теоремы предпологается по Гнеденко или же по Колмогорову
(у меня есть его книга "Основные понятия теории вероятностей", кстати Вы про неё упоминали?)
у Колмогорова события A, A_1, ..., A_n, ... в условии теоремы включены в алгебру множеств F и по одной из его аксиом следует существование вероятностей у всех вышеперечисленных событий
Положим
B_n=Cумма(k=n,oo)A_k, тогда можно записать
A=A_1+A_2+...+A_n+B_n+1
по обычной аксиоме сложения можно записать
P(A)=P(A_1)+P(A_2)+...+P(A_n)+P(B_n+1)
слева стоит конечное число - вероятность события A
перейдём к пределу при n-->oo в последнем равенстве, изменив очевидным образом форму записи его немного
P(A)=Lim(n-->oo, Сумма(i=1,n)P(A_i))+Lim(n-->oo, P(B_n+1))
хоть нам и ясно что Lim(n-->oo, P(B_n+1)) будет равнять нулю, это нужно ещё доказать(вот тут я поспешил сначала)
понятно что если это предел будет равен нулю, то это значит что ряд P(A_i) сходится к вероятности P(A) и стало быть мы можем использовать формулу расширенной теоремы сложения для вычисления этой вероятности путём суммирования P(A_i)
но чтобы доказать то что Lim(n-->oo, P(B_n+1))=0 надо узнать значение предела Lim(n-->oo, Сумма(i=1,n)P(A_i)), а для этого надо уметь вычислять вероятность событий вида A, то есть мы тут
приходим к началу нашей задачи!вот в общем-то и всё
именно поэтому утвержение о том что при известных условиях
Lim(n-->oo, P(B_n+1))=0 Колмогоров и принял в качестве аксиомы и уже основываясь на этом доказал расширенную теорему сложения
то есть имеем две аксиомы про сложение вероятностей: обычную и расширенную
сейчас, правда, я видел в некоторых источниках формулируют только
расширенную аксиому сложения(ну там она разумеется называется по-другому потому как "расширять нечего":)), а из неё уже вытекает утвержение обычной теоремы сложения

"Суть вопроса не ясна. Вернее ответ очевидный - не обязательна. Наверняка ведь можно придумать какое-нибудь утверждение, отличное от аксиомы непрерывности, исходя из которого можно доказать расширенную аксиому сложения. В качестве такого утверждения можно взять к примеру саму расширенную аксиому сложения. Но вы ведь не это спрашивали - я не понял, что."
я имел ввиду доказательство утвержения расширенной аксиомы сложения без введения каких-либо дополнительных аксиом

> я имел ввиду доказательство утвержения расширенной аксиомы сложения без введения каких-либо дополнительных аксиом

Ну тогда конечно расширенную аксиому нельзя доказать. Я же привел контрпример, когда все аксиомы Колмогорова выполняются, а расширенная не выполняется.

С остальным я попробую разобраться завтра, и тогда отвечу.

Теория вер-ей(вопрос к математикам) Найти похожие ветки