Задачи

← →
nelud © (2004-07-31 20:54) [0]

1. Докажите, что для любых неотрицательных чисел x, y, z выполняется неравенство:
x^3+ y^3 + z^3 + 3xyz > (x^2)*y + x*(y^2) + (x^2)*z + x*(z^2) + (y^2)z + y(z^2).
2. В треугольнике ABC c длинами сторон a, b, c из вершины A проведены медиана AM и биссектриса AL. На отрезке BC выбрали точку S так, что прямая AL является биссектрисой угла MAS. Найдите отношение отрезков BS и CS.
3. Вокруг равнобедренного треугольника ABC (AB = AC) описана окружность. На дуге AB, не содержащей точку C, выбирается произвольно точка X. Пусть Y - проекция точки A на прямую CX. Докажите, что CY = YX + XB.
4. Найдите 2004-ю цифру после запятой в десятичной записи числа (7 + 4*sqrt(3) )^2004.
5. Решите неравенство: cos(sinx) > sin(cosx).
6. Могут ли числа 7, 8 и 9 быть членами одной геометрической прогрессии (необязательно последовательными)?
7. Прямая пересекает замкнутую ломаную в 2003 точках. Докажите, что существует такая прямая, которая пересекает эту ломаную не менее, чем в 2004 точках.
8. Есть 2004 натуральных числа. Докажите, что из них можно сделать выборку чисел такую, что их сумма будет делится на 2004.
9. Оказалось, что в последовательности a(n) = A + B .2^n + C*n* 2^(n+2004), где A, B, C - целые числа, первые три числа нацело делятся на 13. Докажите, что любой член последовательности также нацело делится на 13.
10. Докажите, что если два многочлена третьей степени с целыми коэффициентами имеют общий иррациональный корень, то они имеют ещё один общий корень.

← →
Sha © (2004-07-31 22:08) [1]

1. x=y=z=0, 0=0, не выполняется

← →
Ricks (2004-07-31 22:17) [2]

А если не секрет, это откуда? Случайно не из собеседования в Харьковский Политехнический Институт? :)

← →
nelud © (2004-07-31 23:35) [3]

1. > следует читать как >=
прошу прощения за опечатки.

забавные задачки..
те, которые 6-10 выглядят совсем простыми.
получилось решить все, кроме 1,4,5. а на первой я застрял. прям обидно.

ответ требуется только в 2-й:
BS = ac/(2b)
CS/BS = 2b/c - 1

Задачи Найти похожие ветки